Question

（2006•盐城）已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．
（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D，连接CD，则△PCD是______三角形；
（2）若⊙O′与⊙O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答：
问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；
问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论．
我选择问题______，结论：______．

Answer

（1）根据直径所对的圆周角是直角以及等弧对等弦进行证明；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得到∠AQB=90°，根据对顶角相等得到∠EQF=90°．再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到EF是直径．从而得到∠EPF=90°；根据（1）中的结论，连接AP、BP．可证△APE≌△BPF，即证AE=BF．
【解析】
（1）△PCD是等腰直角三角形．
连接OO'，则OO'过点P；
∵AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点，
∴∠APB=90°，AP=BP，
∴∠DPC=90°，∠A=45°，
又∵AO=BO，
∴∠APO=45°，
∴∠CPO'=45°，
∵CD是直径，
∴O'P=O'C，
∴∠C=∠O'PC=45°，
同理可得∠D=45°，
∴∠C=∠D，
∴CP=DP，
∴△PCD是等腰直角三角形；

（2）选择问题一，△PEF是等腰直角三角形．
证明：连接PA、PB，
∵AB是直径，
∴∠AQB=∠EQF=90°，
∴EF是⊙O′的直径，
∴∠EPF=90°，
在△APE和△BPF中：
∵PA=PB，∠PBF=∠PAE，∠APE=90°+∠EPB=∠BPF，
∴△APE≌△BPF，
∴PE=PF，
∴△PEF是等腰直角三角形；
选择问题二，AE=BF．
证明：连接PA、PB，
根据（1）的结论，
在△APE和△BPF中：
∵PA=PB，∠PBF=∠PAE，∠APE=90°+∠EPB=∠BPF，
∴△APE≌△BPF，
∴AE=BF．
∵AB、EF分别是直径，
∴∠AQB=∠EQF．
及AE垂直且相等与BF．