Question

（2006•盐城）已知：如图，A（0，1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB，过B作BC⊥AB，交AE于点C．
（1）当B点的横坐标为时，求线段AC的长；
（2）当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；
（3）设过点P（0，-1）的直线l与（2）中所求函数的图象有两个公共点M₁（x₁，y₁）、M₂（x₂，y₂），且x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=8，求直线l的解析式．

Answer

（1）根据题意得：∠AOB=∠ABC=90°，∠OAB=∠CAB，所以△AOB∽△ABC，由相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求得；
（2）当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC=AD，因为AO⊥OB，AB⊥BD，所以△ABO∽△BDO，根据相似三角形的性质即可求得；
（3）首先求得交点坐标的方程，根据根与系数的关系求解即可．
【解析】
（1）方法一：在Rt△AOB中，可求得AB=，（1分）
∵∠OAB=∠BAC，∠AOB=∠ABC=Rt90°
∴△ABO∽△ACB，（2分）
∴，
由此可求得：AC=；（3分）
方法二：由题意知：tan∠OAB=，（1分）
由勾股定理可求得AB=2分，
在△ABC中，tan∠BAC=tan∠OAB=，
可求得AC=；（3分）

（2）方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，
过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC=AD，
∵AO⊥OB，AB⊥BD，
∴△ABO∽△BDO，
则OB2=AO×OD，（6分）
即2=1×|-y|，
化简得：y=，
当O、B、C三点重合时，y=x=0，
∴y与x的函数关系式为：y=；（7分）
方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，
则AC2=（1-y）2+x2=（1+y）2，化简即可得；

（3）设直线的解析式为y=kx+b，
则由题意可得：，
消去y得：x2-4kx-4b=0，
则有，
由题设知：x12+x22-6（x1+x2）=8，
即（4k）2+8b-24k=8，且b=-1，
则16k2-24k-16=0，
解之得：k1=2，k2=，
当k1=2、b=-1时，
△=16k2+16b=64-16＞0，符合题意；
当k2=，b=-1时，△=16k2+16b=4-16＜0，不合题意（舍去），
∴所求的直线l的解析式为：y=2x-1．