Question

（2006•大连）如图，点P（-m，m²）抛物线：y=x²上一点，将抛物线E沿x轴正方向平移2m个单位得到抛物线F，抛物线F的顶点为B，抛物线F交抛物线E于点A，点C是x轴上点B左侧一动点，点D是射线AB上一点，且∠ACD=∠POM．问△ACD能否为等腰三角形？若能，求点C的坐标；若不能，请说明理由．

说明：
（1）如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写3步）；
（2）在你完成（1）之后，可以从①、②中选取一个条件，完成解答（选取①得7分；选取②得10分）．①m=1；②m=2．

Answer

由平移的性质求得点A、B的坐标，不难得出∠POM=∠AOB=∠ABO=∠ACD，如果△ACD是等腰三角形，可分三种情况：
①AC=AD，∠ACD=∠ADC，已证得∠AOB=∠ABO=∠ACD=∠ADC，此时C、D与O、B重合，C点坐标即为原点坐标．
②CA=CD，如图11，∠AOC=∠ABO+∠OAB，∠CBD=∠AOB+∠OAB，因此∠AOC=∠OBD，不难得出△AOC≌△CBD，那么OA=BC，可在直角三角形AOH中，求出OA的长，即可得出BC的值，进而可求出C点坐标．
③DA=DC，此时∠DAC=∠ACD，而上面证得∠ACD=∠ABO=∠POM，那么∠CAB=∠ABC，即CA=CB，可设出C点坐标，然后表示出BC、AC、CH的长，在直角三角形ACH中，根据勾股定理即可求出C的坐标．

【解析】
△ACD能为等腰三角形．
由平移的性质可得，A点坐标
为（m，m2），B点坐标为（2m，0）．
设C点坐标为（x，0），过A点作AH⊥x轴，垂足为H，连接AO，∵A点坐标为（m，m2），
∴H点坐标为（m，0），AH=m2．
∵B点坐标为（2m，0），
∴OH=BH=m．∴AB=AO，
∴∠ABC=∠AOB，由已知可得，AB∥OP，
∴∠ABC=∠POM．
又∵∠ACD=∠POM，
∴∠ACD=∠ABC=∠AOB．
若△ACD为等腰三角形，则AC=AD，或CD=CA，或DA=DC．
当AC=AD时
如图10，∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
∴∠ADC=∠ACD=∠ABC，
∴点D与点B重合，点C与点O重合，∴C点坐标为（0，0）．
当CD=CA时，

方法一：
如图，∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA．
∵∠ABC=∠AOB，
∴∠CBD=∠AOC．
∵∠ACD=∠ABC，
又∵∠ABC=∠BCD+∠ADC，∠ACD=∠BCD+∠ACB，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△BCD≌△OAC，∴BC=OA．
在Rt△AOB中，OA2=OH2+AH2=m2+（m2）2，
∴BC=OA=m．
∴OC=BC-OB=m-2m，
∴C点坐标为（2m-m，0）．

方法二：
如图11，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA．
又∵∠ACD=∠ABC，∠CAB=∠DAC，
∴△ACB∽△ADC，∴∠ACB=∠CDA，
∴∠CAD=∠ACB，∴BC=AB．∴BC=OA．
余下部分同方法一．
当DA=DC时，
如图12，∵DA=DC，
∴∠DAC=∠ACD．
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠DAC=∠ABC，
∴AC=BC．
∵BC=2m-x，
∴AC=2m-x．
在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2．
∴（2m-x）2=（m2）2+（m-x）2．
∴x=．
∴C点坐标为（，0）．
探索过程一：
由已知可得：AB∥OP，
∴∠ABC=∠POM．
∵∠ACD=∠POM，
∴∠ACD=∠POM=∠ABC．
探索过程二：
若△ACD为等腰三角形，则有三种可能，即AC=AD，或CD=CA，或DA=DC．
当AC=AD时，
∴∠ACD=∠ADC．
选择条件①
当m=1时，P点坐标为（-1，1），由平移性质可得，A点坐标为（1，1），B点坐标为（2，0）．
过A点作AH⊥x轴，垂足为H，连接AO，
∴H点坐标为（1，0），AH=1，OH=BH=1．
∴AB=AO，∴∠ABC=∠AOB=45°，∠OAB=90度．
由已知可得，OP∥AB，
∴∠ABC=∠POM．
又∵∠ACD=∠POM，
∴∠ACD=∠ABC=∠AOB=45度．
若△ACD为等腰三角形，则有三种可能，即AC=AD，或CD=CA，或DA=DC．
当AC=AD时，
如图13，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ABC=∠ADC=∠AOB，
∴点D与点B重合，点C与点O重合，
∴C点坐标为（0，0）．
当CA=CD时，
方法一：
如图14，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA．
∵∠ACB=∠AOB+∠OAC，
∴∠ACD+∠DCB=∠AOB+∠OAC，
∴∠DCB=∠OAC．
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△BCD≌△OAC，
∴BC=OA．
在∵DA=DC中，OB2=OA2+AB2=2OA2，
∴4=2OA2，
∴OA=．∴OC=OB-BC=OB-OA=2-，
∴C点坐标为（2-，0）．

方法二：
如图14，∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA．
又∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠CDA=∠ACB．
∴∠CAD=∠ACB，
∴AB=BC．
在Rt△ACH中，OB2=OA2+AB2=2AB2，
∴4=2AB2，
∴AB=．∴BC=，
∴OC=OB-BC=2-，
∴C点坐标为（2-，0）．
当DA=DC时，
如图15，∵DA=DC，
∴∠ACD=∠DAC．
∵∠ACD=45°，
∴∠DAC=45°，
∵∠OAB=90°，
∴AC平分∠OAB，
又∵AO=AB，
∴C是OB中点，
∴C点坐标为（1，0）．
选择条件②
当m=2时，P点坐标为（-2，4），由平移的性质得，
A点坐标为（2，4），B点坐标为（4，0）．
连接OA，过A点作AH⊥x轴，垂足为H，
∴H点坐标为（2，0），AH=4，OH=BH=2，
∴AB=AO，
∴∠ABC=∠AOB．
由已知可得，OP∥AB，
∴∠ABC=∠POM．
又∵∠ACD=∠POM，
∴∠ACD=∠ABC=∠AOB．
若△ACD为等腰三角形，则有三种可能，
即AC=AD，或CD=CA，或DA=DC．
当AC=AD时，
如图16．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
又∵∠ACD=∠ABC=∠AOB，
∴∠ACD=∠ABC=∠AOB=∠ADC．
∴点D与点B重合，点C与点O重合，
∴C点坐标为（0，0）．（5分）
当CA=CD时，
方法一：
如图17，∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA．
∵∠ABC=∠ADC+∠BCD，
又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠ACD=∠ABC，
∴∠ADC=∠ACB．（6分）
又∵∠ABC=∠AOB，
∴∠CBD=∠AOC，
∴△CBD≌△AOC，
∴BC=OA．（7分）
在Rt△AOH中，OA2=AH2+OH2=42+22=20，
∴BC=OA=2．∵OC=BC-OB=2-4，
∴C点坐标为（4-2，0）．

方法二：
如图17，∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA．
∵∠ACD=∠ABC，
又∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠CDA=∠ACB，
∴∠CAD=∠ACB．
∴AB=BC．
在Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2=42+22=20，
∴BC=AB=2．∴OC=BC-OB=2-4．
∴C点坐标为（4-2，0）．
当DA=DC时，
如图18，∵DA=DC，
∴∠DAC=∠ACD．
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠DAC=∠ABC．
∴AC=BC．
在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2，
∴（4-x）2=42+（2-x）2，
∴x=-1．∴C点坐标为（-1，0）．