Question

如图，小明按下面的方法作∠MON的平分线：
（1）反向延长射线OM；
（2）以O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点A，B，交射线OM的反向延长线于点C；
（3）连接OB；
（4）以O为顶点，OA为一边作∠AOP=∠OCB．
（i）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．
（ii）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON=60°，OF=10时，求AE的长．

Answer

（1）根据圆周角定理结合作图方法就可证明；
（2）根据所给的角的度数发现30°的直角三角形和等边三角形，利用它们的性质进行计算．
【解析】
（1）射线OP是∠MON的平分线．
∵∠MON和∠3所对的弧是同弧
∴∠MON=2∠3
又∵∠1=∠3
∠1+∠2=2∠3
∴∠1=∠2=∠3
∴OP是∠MON的平分线

（2）∵AF切于⊙O
∴OA⊥AF
∵∠MON=60°
∴∠1=30°
在Rt△OAF中，cos30°=，且OF=10
∴OA=5
∵OA=OB且∠MON=60°
∴△OAB是等边三角形
∴