Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点．连接BE交AC于点F，连接FD．若∠BFA=90°，则下列四对三角形：（1）△BEA与△ACD；（2）△FED与△DEB；（3）△CFD与△ABG；（4）△ADF与△CFB，其中相似的有（ ）

A．（1）（4）
B．（1）（2）
C．（2）（3）（4）
D．（1）（2）（3）

Answer

根据题意，分别寻找各对三角形相似的条件，运用判定方法判断．∠EFC=∠ADC=90°
∴∠DCA+∠FED=180°
∵∠FED+∠AEB=180°
∴∠AEB=∠DCA，∠CDA=∠DAB=90°
∵∠DAC=∠ABE∴△BEA∽△ACD．
再利用相似三角形相似的判定证明△FED与△DEB，△CFD与△ABG相似，而（4）不成立．
【解析】
（1）∵矩形ABCD，∴∠EAB=∠CDA=90°，
∴∠BAF+∠CAD=90°，
又∠BFA=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠CAD=∠ABF，
∴△BEA与△ACD相似；故此选项正确；
（2）△FED与△DEB相似．理由：DE2=AE2=EF•EB，∠DEF=∠BED；故此选项正确；
（3）△CFD与△ABG相似．理由：∠CDF=90°-∠EDF，∠AGB=90°-∠EBG，
由（2）的结论得：∠EDF=∠EBD，故∠CDF=∠AGB；∵AB∥CD，∴∠DCF=∠BAG；故此选项正确；
（4）△ADF与△CFB不具备相似条件．
故选D．