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(2009•永嘉县二模)如图,Rt△ABC的两条直角边AC=3,BC=4,点P是...

(2009•永嘉县二模)如图,Rt△ABC的两条直角边AC=3,BC=4,点P是边BC上的一动点(P不与B重合),以P为圆心作⊙P与BA相切于点M.设CP=x,⊙P的半径为y.
(1)求证:△BPM∽△BAC;
(2)求y与x的函数关系式,并确定当x在什么范围内取值时,⊙P与AC所在直线相离;
(3)当点P从点C向点B移动时,是否存在这样的⊙P,使得它与△ABC的外接圆相内切?若存在,求出x、y的值;若不存在,请说明理由.
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(1)由∠B=∠B,∠C=∠BMP=90°证明; (2)勾股定理求出AB的长,相似三角形求出y与x的函数关系式,求出取值范围; (3)根据内切圆的特点,求出x,y的值. (1)证明:∵AB切⊙P于点M, ∴∠PMB=∠C=90°. 又∵∠B=∠B, ∴△BPM∽△BAC. (2)【解析】 ∵AC=3,BC=4,∠C=90°, ∴AB=5. ∵, ∴, ∴(0≤x<4). 当x>y时,⊙P与AC所在的直线相离. 即x>, 得x>, ∴当<x<4时,⊙P与AC所在的直线相离. (3)【解析】 设存在符合条件的⊙P. 得OP=2.5-y,而BM=, ∴OM=, 有, 得 ∴y1=0(不合题意舍去),y2=. ∴时,x=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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