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(2006•鄂尔多斯)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于D,交AB于E,且CF=BE.
(1)求证:四边形BECF是菱形;
(2)当∠A的大小满足什么条件时,菱形BECF是正方形?回答并证明你的结论.

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(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC,∵CF=BE,BE=EC=BF=FC,∴四边形BECF是菱形; (2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠ABC=45°时,∠EBF=90°,有菱形为正方形,根据直角三角形中两个角锐角互余得,∠A=45度. 1)证法一:如图 ∵EF垂直平分BC,∴BE=EC,BF=CF, ∵CF=BE,∴BE=EC=CF=BF, ∴四边形BECF是菱形; 证法二:如图 ∵EF垂直平分BC,∴BD=DC,EF⊥BC ∵BE=CF,∴△BED≌△CFD, ∴DE=DF ∴四边形BECF是菱形; (2)解法一: 当∠A=45°时,菱形BECF是正方形. ∵∠A=45°,∠ACB=90°,∴∠EBC=45° ∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90° ∴菱形BECF是正方形. 解法二: 当∠A=45°时,菱形BECF是正方形. ∵∠A=45°,∠ACB=90°,∴∠EBC=45°, ∵BE=EC,∴∠ECB=∠EBC=45°∴∠BEC=90°, ∴菱形BECF是正方形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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