Question

（2006•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E，且CF=BE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A的大小满足什么条件时，菱形BECF是正方形？回答并证明你的结论．

Answer

（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，∵CF=BE，BE=EC=BF=FC，∴四边形BECF是菱形；
（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，∠A=45度．
1）证法一：如图
∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，
∵CF=BE，∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；

证法二：如图
∵EF垂直平分BC，∴BD=DC，EF⊥BC
∵BE=CF，∴△BED≌△CFD，
∴DE=DF
∴四边形BECF是菱形；

（2）解法一：
当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．

解法二：
当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°，
∵BE=EC，∴∠ECB=∠EBC=45°∴∠BEC=90°，
∴菱形BECF是正方形．