Question

（2006•鄂尔多斯）如图（a），两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．
（1）将图（a）中的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，在图（b）中作出旋转后的△OAB（保留作图痕迹，不写作法，不证明）；
（2）在图（a）中，你发现线段AC，BD的数量关系是______，直线AC，BD相交成______度角；
（3）将图（a）中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图（c），这时（2）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．

Answer

（1）△OAB绕点O顺时针旋转90°角应该在△COD的右边；
（2）的结论容易得到，AC=BD，AC与BD相交成90°的角；
（3）结论仍然成立，利用等腰直角三角形的性质可以得到全等条件证明△COA≌△DOB，然后利用全等三角形的性质可以证明结论仍然成立．
【解析】
（1）如图（a）【A，B字母位置互换扣（1分），无弧扣（1分），不连接AB扣（1分），扣完为止）】（2分）

（2）AC=BD；90（90°）（每空1分）（4分）

（3）成立．如图（b）．
∵∠COD=∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，
即：∠COA=∠DOB（或由旋转得∠COA=∠DOB），（5分）
∵CO=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB，（6分）
∴AC=BD，（7分）
延长CA交OD于E，交BD于F，（下面的证法较多）
∵△COA≌△DOB，
∴∠ACO=∠ODB，（8分）
∵∠CEO=∠DEF，
∴∠COE=∠EFD=90°，
∴AC⊥BD．（9分）
旋转更大角时，结论仍然成立．（10分）