Question

（2006•莱芜）半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（2）当点P运动到的中点时，求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

Answer

（1）如果点P与点C关于AB对称，根据垂径定理可得出CP⊥AB，在直角三角形ABC中，根据△ABC面积的不同表示方法可求出CD的长，即可得出PC的值，进而可通过相似三角形△PQC和△ABC（∠A=∠P，一组直角）求出CQ的长．
（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）；由于P是弧AB的中点，由圆周角定理得∠ACP=∠PCB=45°，由△CEB是等腰直角三角形，可得CE=BE=BC=2；又由圆周角定理得∠CPB=∠CAB，由正切的概念知tan∠CPB=tan∠CAB==BE：PE，得到PE=BE=进而求得PC，而从（1）中得，CQ=PC=．
（3）如果CQ去最大值，那么PC也应该取最大值，因此当PC是圆O的直径时，CQ才取最大值．此时PC为5，可根据上面得出的PC、CQ的比例关系求出CQ的长．
【解析】
（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AB=5，又∵BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3．
又∵AC•BC=AB•CD
∴CD=，PC=
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
Rt△ACB∽Rt△PCQ
∴，
∴CQ==PC=．

（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）．
∵P是弧AB的中点，
∴∠PCB=45°，CE=BE=BC=2
又∠CPB=∠CAB
∴tan∠CPB=tan∠CAB=
∴PE=BE=，PC=
而从（1）中得，CQ=PC=．

（3）点P在弧AB上运动时，恒有CQ==PC；
故PC最大时，CQ取到最大值．
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为．