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(2006•东营)如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分...

(2006•东营)如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MP⊥OA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为多少(用含x的代数式表示);
(2)试求△NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值;
(3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由.

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(1)求P点的坐标,也就是求OM和PM的长,已知了OM的长为x,关键是求出PM的长,方法不唯一,①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求; ②也可延长MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长,然后根据PM=AB-PQ来求出PM的长.得出OM和PM的长,即可求出P点的坐标. (2)可按(1)②中的方法经求出PQ的长,而CN的长可根据CN=BC-BN来求得,因此根据三角形的面积计算公式即可得出S,x的函数关系式. (3)本题要分类讨论: ①当CP=CN时,可在直角三角形CPQ中,用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式,然后联立CN的表达式即可求出x的值; ②当CP=PN时,那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的长,然后根据QN=CN-CQ求出QN的表达式,根据题设的等量条件即可得出x的值. ③当CN=PN时,先求出QP和QN的长,然后在直角三角形PNQ中,用勾股定理求出PN的长,联立CN的表达式即可求出x的值. 【解析】 (1)过点P作PQ⊥BC于点Q, 有题意可得:PQ∥AB, ∴△CQP∽△CBA, ∴=, ∴=, 解得:QP=x, ∴PM=3-x, 由题意可知,C(0,3),M(x,0),N(4-x,3), P点坐标为(x,3-x). (2)设△NPC的面积为S,在△NPC中,NC=4-x, NC边上的高为,其中,0≤x≤4. ∴S=(4-x)×x=(-x2+4x) =-(x-2)2+. ∴S的最大值为,此时x=2. (3)延长MP交CB于Q,则有PQ⊥BC. ①若NP=CP, ∵PQ⊥BC, ∴NQ=CQ=x. ∴3x=4, ∴x=. ②若CP=CN,则CN=4-x,PQ=x,CP=x,4-x=x, ∴x=; ③若CN=NP,则CN=4-x. ∵PQ=x,NQ=4-2x, ∵在Rt△PNQ中,PN2=NQ2+PQ2, ∴(4-x)2=(4-2x)2+(x)2, ∴x=. 综上所述,x=,或x=,或x=.
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考点分析:
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测试项目测试成绩/分
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面试937068
根据录用程序,组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议,三人得票率(没有弃权票,每位职工只能推荐1人)如上图所示,每得一票记作1分.
(1)请算出三人的民主评议得分;
(2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用;(精确到0.01)
(3)根据实际需要,单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4:3:3的比例确定个人成绩,那么谁将被录用?

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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