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(2006•济南)如图1,已知Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=5.过点A...

(2006•济南)如图1,已知Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=5.过点A作AE⊥AB,且AE=15,连接BE交AC于点P.
(1)求PA的长;
(2)以点A为圆心,AP为半径作⊙A,试判断BE与⊙A是否相切,并说明理由;
(3)如图2,过点C作CD⊥AE,垂足为D.以点A为圆心,r为半径作⊙A;以点C为圆心,R为半径作⊙C.若r和R的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切,且使D点在⊙A的内部,B点在⊙A的外部,求r和R的变化范围.
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(1)根据已知,可判定△APE∽△CPB,从而得到相似比为PA:PC=AE:BC=3:1; (2)BE与⊙A相切,通过已知,可求得∠ABE=60°,从而可得到∠APB=90°,即BE与⊙A相切; (3)已知AD=5,AB=5,所以r的变化范围为5<r<5.因为没有说明两圆是内切还是外切,所以分两种情况进行分析. 【解析】 (1)∵在Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=5, ∴AC=2BC=10; ∵AE∥BC, ∴△APE∽△CPB, ∴PA:PC=AE:BC=3:1, ∴PA:AC=3:4,PA=. (2)BE与⊙A相切; ∵在Rt△ABE中,AB=5,AE=15, ∴tan∠ABE=, ∴∠ABE=60°; 又∵∠PAB=30°, ∴∠ABE+∠PAB=90°, ∴∠APB=90°, ∴BE⊥AP ∴BE与⊙A相切; (3)因为AD=5,AB=5,所以r的变化范围为5<r<5; 当⊙A与⊙C外切时,R+r=10,所以R的变化范围为10-<R<5; 当⊙A与⊙C内切时,R-r=10,所以R的变化范围为15<R<10+5.
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考点分析:
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(1)求点B1的坐标与线段B1C的长;
(2)将图1中的矩形OA1B1C1沿y轴向上平移,如图2,矩形PA2B2C2是平移过程中的某一位置,BC,A2B2相交于点M1,点P运动到C点停止.设点P运动的距离为x,矩形PA2B2C2与原矩形OABC重叠部分的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
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(1)该小组通过多次尝试,最终选定下表中的简便且易操作的三种横截面图形,如图2,是根据这三种横截面图形的面积y(cm2)与x(cm)(见表中横截面图形所示)的函数关系式而绘制出的图象.请你根据有信息,在表中空白处填上适当的数、式,并完成y取最大值时的设计示意图;
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(1)图中有若干对三角形是全等的,请你任选一对进行证明;(不添加任何辅助线)
(2)证明:四边形AHBG是菱形;
(3)若使四边形AHBG是正方形,还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件?请你写出这个条件.(不必证明)

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(1)利用图中提供的信息,补全下表:
班级平均数(分)中位数(分)众数(分)
(1)班2424
(2)班24
(2)若把24分以上(含24分)记为“优秀”,两班各有60名学生,请估计两班各有多少名学生成绩优秀;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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