Question

（2006•泰安）如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB=，∠BAO=30度．将Rt△AOB折叠，使BO边落在BA边上，点O与点D重合，折痕为BC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过B，C，A三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；若抛物线的顶点为M，试判断点M是否在直线BC上，并说明理由．

Answer

（1）根据题意易得∠OBC=∠DBC=30°，进而在Rt△COB可得C的坐标，又有B的坐标；进而可得BC的解析式；
（2）在Rt△AOB可得OA的长，即可得A的坐标；将ABC的坐标代入解析式方程可得abc的值，进而可得抛物线的解析式；将M的坐标代入判断其是否在抛物线上．
【解析】
（1）∵∠OBC=∠DBC=∠OBA=×（90°-30°）=30°
∴在Rt△COB中，OC=OB•tan30°==1
∴点C的坐标为（1，0）（2分）
又点B的坐标为（0，）
∴设直线BC的解析式为y=kx+
∴0=k+，
∴k=-
则直线BC的解析式为：y=-x+；（4分）

（2）∵在Rt△AOB中，OA==3
∴A（3，0），
又∵B（0，），C（1，0）
∴（7分）
解之得：a=，b=-，c=
∴所求抛物线的解析式为y=x2-x+（8分）
配方得：y=（x-2）2-
∴顶点为（9分）
把x=2代入y=-x+，得：y=-≠-，
∴顶点M不在直线BC上．（10分）