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(2006•烟台)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,),其顶点E的横坐标...

(2006•烟台)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,manfen5.com 满分网),其顶点E的横坐标为2,此抛物线与x轴分别交于B(x1,0),C(x2,0)两点(x1<x2),且x12+x22=16.
(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标;
(2)若D是y轴上一点,且△CDE为等腰三角形,求点D的坐标.
(1)设所求抛物线为y=a(x-2)2+n,又已知点A的坐标,求出x1+x2以及x1x2的表达式后可解出a、n的值. (2)由(1)知点B、C的坐标,易得△BCE为等腰直角三角形.然后CE分两种情况:当CE为腰以及当CE为底时求解. 【解析】 (1)设所求抛物线为y=a(x-2)2+n.(1分) 即y=ax2-4ax+4a+n. ∵点A(1,)在抛物线上, ∴=a+n.①(2分) ∵x1,x2是方程ax2-4ax+4a+n=0的两实根, ∴x1+x2=4,x1x2=.(3分) 又∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=42-2×=16, ∴4a+n=0.②(4分) 由①②得a=-,n=2. ∴所求抛物线解析式为y=-(x-2)2+2, 即y=-x2+2x.(5分) 顶点E的坐标为(2,2).(6分) (2)由(1)知B(0,0),C(4,0). 又因为E(2,2), 故△BCE为等腰直角三角形,如图.(7分) 由等腰△CDE知,CE为腰或CE为底. ①当CE为腰时,又D在y轴上,则只能有DE=EC,显然D点为(0,0)或(0,4)(这时D、E、C共线,舍去). ∴D点只能取(0,0).(8分) ②当CE为底时, 设抛物线对称轴与x轴交于点F, 因△CEF为等腰直角三角形, 则线段CE的垂直平分线过点F, 设交y轴于点D. 故∠OFD=45度. ∴OD=DF=2. ∴D点坐标为(0,-2).(10分) 综上所述,点D的坐标为(0,0)或(0,-2).(11分)
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考点分析:
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154,159,166,169,156,162,158,160,161,158,
164,158,x,157,162,165,151,160,158,149.
统计人员将上述数据整理后,列出了频率分布表并画出了频率分布直方图(如下图).
 分组频数 频率 
 144.5~149.5 1 0.05
 149.5~154.5 A B
 154.5~159.5 7 0.35
 159.5~164.5 C D
 164.5~169.5 0.15
 合计 20 1
根据以上信息回答下列问题:
(1)频率分布表中的A=______,B=______,C=______,D=______
(2)原数据中,x的取值范围是______
(3)这20名女生身高的中位数是______
(4)该校身高在160cm以上(含160cm)的14周岁女生大约有______人.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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