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manfen5.com 满分网(2006•莱芜)半径为2.5的⊙O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P.已知BC:CA=4:3,点P在manfen5.com 满分网上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q.
(1)当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长;
(2)当点P运动到manfen5.com 满分网的中点时,求CQ的长;
(3)当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值?求此时CQ的长.
(1)如果点P与点C关于AB对称,根据垂径定理可得出CP⊥AB,在直角三角形ABC中,根据△ABC面积的不同表示方法可求出CD的长,即可得出PC的值,进而可通过相似三角形△PQC和△ABC(∠A=∠P,一组直角)求出CQ的长. (2)当点P运动到弧AB的中点时,过点B作BE⊥PC于点E(如图);由于P是弧AB的中点,由圆周角定理得∠ACP=∠PCB=45°,由△CEB是等腰直角三角形,可得CE=BE=BC=2;又由圆周角定理得∠CPB=∠CAB,由正切的概念知tan∠CPB=tan∠CAB==BE:PE,得到PE=BE=进而求得PC,而从(1)中得,CQ=PC=. (3)如果CQ去最大值,那么PC也应该取最大值,因此当PC是圆O的直径时,CQ才取最大值.此时PC为5,可根据上面得出的PC、CQ的比例关系求出CQ的长. 【解析】 (1)当点P与点C关于AB对称时,CP⊥AB,设垂足为D. ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90°. ∴AB=5,又∵BC:CA=4:3, ∴BC=4,AC=3. 又∵AC•BC=AB•CD ∴CD=,PC= 在Rt△ACB和Rt△PCQ中, ∠ACB=∠PCQ=90°,∠CAB=∠CPQ, Rt△ACB∽Rt△PCQ ∴, ∴CQ==PC=. (2)当点P运动到弧AB的中点时,过点B作BE⊥PC于点E(如图). ∵P是弧AB的中点, ∴∠PCB=45°,CE=BE=BC=2 又∠CPB=∠CAB ∴tan∠CPB=tan∠CAB= ∴PE=BE=,PC= 而从(1)中得,CQ=PC=. (3)点P在弧AB上运动时,恒有CQ==PC; 故PC最大时,CQ取到最大值. 当PC过圆心O,即PC取最大值5时,CQ最大值为.
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考点分析:
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测试项目测试成绩/分
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面试937068
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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