Question

（2006•上海）已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上．以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．
（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO．求证：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常数，且m＞1），BP=1，OP是OA，OB的比例中项．当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围．

Answer

（1）根据夹角相等，对应边成比例可证
（2）OP是OA，OB的比例中项，OC=OP，△CAO∽△BCO可得．
（3）讨论相交，内切，内含与⊙B与⊙C的圆心距的关系．
（1）证明：∵AP=2PB=PB+BO=PO，
∴AO=2PO．
∴=2．（2分）
∵PO=CO，（1分）
∴．
∵∠COA=∠BOC，
∴△CAO∽△BCO．（1分）

（2）【解析】
设OP=x，则OB=x-1，OA=x+m，
∵OP是OA，OB的比例中项，
∴x2=（x-1）（x+m）．（1分）
∴x=．
即OP=．（1分）
∴OB=．（1分）
∵OP是OA，OB的比例中项，即，
∵OP=OC，
∴．（1分）
设⊙O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P，点Q不重合时，
∵∠AOC=∠COB，
∴△CAO∽△BCO．（1分）
∴．（1分）
∴．
当点C与点P或点Q重合时，可得，
∴当点C在圆O上运动时，AC：BC=m．（1分）

（3）【解析】
由（2）得，AC＞BC，且AC-BC=（m-1）BC（m＞1），AC+BC=（m+1）BC，
⊙B和⊙C的圆心距d=BC，
显然BC＜（m+1）BC，∴⊙B和⊙C的位置关系只可能相交、内切或内含．
当⊙B与⊙C相交时，（m-1）BC＜BC＜（m+1）BC，得0＜m＜2，
∵m＞1，
∴1＜m＜2；（1分）
当⊙B与⊙C内切时，（m-1）BC=BC，得m=2；（1分）
当⊙B与⊙C内含时，BC＜（m-1）BC，得m＞2．（1分）