Question

（2006•雅安）如图，BC是⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，且弧CD=DE，连接EB、DO．
（1）求证：EB∥DO；
（2）连接EC，在∠CEB的外部作∠BEA=∠C，直线EA交CB的延长线于A，求证：直线EA是⊙O的切线；
（3）若EA=2，AB=1，求⊙O的半径长．

Answer

（1）由垂径定理得：OD⊥EC；由圆周角定理，得：BE⊥EC；由此可证得EB∥DO．
（2）连接OE，证得∠OEA=90°即可．
（3）根据AE2=AB•AC，即可求得AC长，进而求得⊙O的半径长．
（1）证明：∵弧CD=DE，
∴OD⊥EC．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°．
∴BE⊥EC．
∴EB∥DO．

（2）证明：连接OE；
∵OC=OE，
∴∠C=∠OEC．
∵∠BEA=∠C，
∴∠BEA=∠OEC；
∵∠CEO+∠BEO=90°，
∴∠BEA+∠BEO=90°．即∠OEA=90°．
∴直线EA是⊙O的切线．

（3）【解析】
∵AE是切线，AC是割线，
∴由切割线定理知：AE2=AB•AC，
∴AC=AE2÷AB=4，
∴BC=AC-AB=3，
∴⊙O半径长为．