Question

（2006•昆明）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形OABC的边OA在x轴上，∠B=60°，OA=6，OC=4，D是BC的中点，延长AD交OC的延长线于点E．
（1）画出△ECD关于边CD所在直线为对称轴的对称图形△E₁CD，并求出点E₁的坐标；
（2）求经过C、E₁、B三点的抛物线的函数表达式；
（3）请探求经过C、E₁、B三点的抛物线上是否存在点P，使以点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似？若存在这样的点P，请求出点P的坐标；若不存在这样的点P，请说明理由．

Answer

（1）欲画△ECD关于边CD所在直线为对称轴的对称图形△E1CD，由CD不变，知关键是确定E1点，可过点E作对称轴CD的垂线，垂足为F，延长EF到E1，使E1F=EF．则点E1就是点E关于CD所在直线的对称点；
（2）由（1）求得E1坐标，再求抛物线的函数表达式，可通过待定系数法，利用已知条件求解；
（3）问题较难，根据两个三角形相似的条件，需要分情况讨论P在不同位置时的情况．
【解析】
（1）过点E作EE1⊥CD交BC于F点，交x轴于E1点，
则E1点为E的对称点．连接DE1、CE1，则△CE1D为所画的三角形，
∵△CED∽△OEA，，∴，
∵EF、EE1分别是△CED、△OEA的对应高，
∴=，
∴EF=EE1，
∴F是EE1的中点，
∴E点关于CD的对称点是E1点，△CE1D为△CED关于CD的对称图形，
在Rt△EOE1，OE1=cos60°×EO=×8=4，
∴E1点的坐标为（4，0）；

（2）∵平行四边形OABC的高为h=sin60°×4=2，
过C作CG⊥OA于G，则OG=2，
∴C、B点的坐标分别为（2，2），（8，2），
∵抛物线过C、B两点，且CB∥x轴，C、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴方程为x=5，
又∵抛物线经过E1（4，0），
则抛物线与x轴的另一个交点为A（6，0），
∴可设抛物线为y=a（x-4）（x-6），
∵点C（2，2）在抛物线上，
∴2=a（2-4）（2-6），
解得a=，
∴y=（x-4）（x-6）=x2-x+6；

（3）根据两个三角形相似的条件，由于在△ECD中，∠ECD=60°，
若△BCP与△ECD相似，则△BCP中必有一个角为60°，
下面进行分类讨论：
①当P点直线CB的上方时，由于△PCB中，∠CBP＞90°或∠BCP＞90°，
∴△PCB为钝角三角形，
又∵△ECD为锐角三角形，
∴△ECD与△CPB不相似．
从而知在直线CB上方的抛物线上不存在点P使△CPB与△ECD相似；
②当P点在直线CB上时，点P与C点或B点重合，不能构成三角形，
∴在直线CB上不存在满足条件的P点；
③当P点在直线CB的下方时，若∠BCP=60°，则P点与E1点重合，
此时，∠ECD=∠BCE1，而，
∴，
∴△BCE与△ECD不相似，
若∠CBP=60°，则P点与A点重合，
根据抛物线的对称性，同理可证△BCA与△CED不相似，
若∠CPB=60°，假设抛物线上存在点P使△CPB与△ECD相似，
∴EF=sin60°×4=2，FD=1，
∴ED==，
设△ECD的边DE上的高为h1，则有h1×ED=EF×CD，
∴h1=EF×CD÷ED=2×3÷=6÷=，
设△CPB的边BC上的高为h2，△CPB与△ECD相似，
∵，
解得h2=×h1=×=，
∵抛物线的顶点坐标为（5，-），
∴抛物线的顶点到直线BC的距离d=|-|+2=，
∵h2＞d，
∴所求P点到直线BC的距离大于抛物线的顶点到直线BC的距离，
从而使△CPB与△ECD相似的点P不会在抛物线上，
∴在直线CB下方不存在抛物线上的点P使△CPB与△ECD相似．
综上所述，抛物线上不存在点P使点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似．