Question

（2006•杭州）如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA=4，PA=．求：
（1）∠POA的度数；
（2）弦AB的长；
（3）阴影部分的面积．

Answer

（1）根据AP是圆的切线，则得到△OAP是直角三角形，根据OA，PA的值，就可以∠POA的度数；
（2）AB⊥PO，设AB与PO相交于点D，则AB=2AD，在直角△OAD中，根据三角函数就可以求出AD的长，从而求出AB的长；
（3）设阴影部分面积为s，则S=S△OAP-S扇形AOC，分别求出△OAP与扇形AOC的面积就可以求出．
【解析】
（1）∵PA是圆O的切线，切点是A．
∴OA⊥PA．
在Rt△APO中，tan∠POA=，
∴∠POA=60°；3分

（2）设AB与PO相交于点D，如图，
∵点B与点A关于直线PO对称，
∴AB⊥PO，且AB=2AD，
在Rt△ADO中，AD=OAsin60°=2，
∴AB=2AD=4；4分

（3）设阴影部分面积为s，
则S=S△OAP-S扇形AOC，
∵S△OAP=8，S扇形AOC=，
∴S=8（）．3分