Question

（2006•杭州）已知，直线y=-x+1与x轴，y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90度．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）求三角形ABC的面积S_△ABC；
（2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

Answer

（1）根据直线的解析式容易求出A，B的坐标，也可以求出OA，OB，AB的长，由于三角形ABC是等腰直角三角形，知道AB就可以求出S△ABC；
（2）不论a取任何实数，△BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高，所以三角形BOP的面积是一个常数；
（3）△ABC的面积已知，把△ABP的面积用a表示，就可以得到关于a的方程，解方程可以求出a．
【解析】
（1）令y=-x+1中x=0，得点B坐标为（0，1）；
令y=0，得点A坐标为（，0），
由勾股定理得|AB|=2，
∴S△ABC=2；

（2）不论a取任何实数，△BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高，
∴S△BOP=为常数；

（3）当点P在第四象限时，
∵S△ABO=，S△APO=a，
∴S△ABP=S△ABO+S△APO-S△BOP=S△ABC=2，
即+a-=2，
解得a=-1，
当点P在第一象限时，同理可得a=1+．