Question

将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上，并且以S₁，S₂，…，S₈分别表示（A，B，C），（B，C，D），…，（H，A，B）8组相邻的三个顶点上的数字之和．
（1）试给出一个填法，使得S₁，S₂，…，S₈都大于或等于12；
（2）请证明任何填法均不可能使得S₁，S₂，…，S₈都大于或等于13．

Answer

（1）首先确定1的位置，1最小，让它的一个相邻的数是最大的数8，再根据三个相邻的数的和应大于或等于12且各个顶点的数都不相等，进行推断；
（2）首先根据八组的数的和是104，正确分析出其中至多有四组的数的和大于13，且每一组的数的和都小于或等于14；然后再进一步用设未知数的方法分析．
【解析】
（1）不难验证，如图所示填法满足．s1，s2，…s8都大于或等于12．

（2）显然，每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中，所以有s1+S2+…+S8=（1+2+3+…+8）•3=108．如果每组三数之和都大于或等于13，因13•8=104，所以至多有108-104=4个组的三数之和大于13．
由此我们可得如下结论：
1、相邻两组三数之和一定不相等．设前一组为（i，j，k），后一组为（j，k，l）．若有i+j+k=j+k+l，则l=i，这不符合填写要求；
2、每组三数之和都小于或等于14．因若有一组三数之和大于或等于15，则至多还有另外两个组，其三数之和大于13，余下5个组三数之和等于13，必有相邻的两组相等，这和上述结论（1）不符．
因此，相邻两组三数之和必然为13或14．不妨假定1填在B点上，A点所填为i，C点所填为j．
1、若S1=i+1+J=13，则s2=1+j+l=14，S3=j+l+k=13，因J＞1，这是不可能的．
2、若sl=i+1+j=14，则S2=1+j+（i-1）=13，S3=j+（i-1）+2：14，s4=（i-1）+2+（j-1）=13，这时S5=14，只能是S=2+（j-1）+i，i重复出现：所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法．