Question

n个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差．例如：

（1）能否通过若干次操作完成图中的变换？请说明理由．

（2）能否通过若干次操作完成图中的变换请说明理由．

（3）能否通过若干次操作完成图中的变换？请说明理由．

Answer

（1）根据最后的三个数，我们可以看出，它的前一个图用的是题中给出的第二个算法，即用被换掉的数减去相邻的两个数得出的-2007，因此被换掉的数应该是1002，那么这个图以前应该是换的2006，按第一个算法进行置换的，那么被换的数应该是1，依此类推往前翻，即可得出整个的转换过程．
（2）不能，因为不管如何进行操作，都不可能出现0的．
（3）通过题中给出的两个图，我们发现这个转换过程是可逆的过程，我们发现第一个图中有两个偶数，三个奇数，而第二个图中只有5个奇数，因此当这个操作进行逆转时，5个奇数是不可能得出偶数的．因此这个操作时不成立的．
【解析】
（1）

（2）不能．因为不管如何操作，变换后的4个数仍然除4余2，不可能出现0．

（3）不能．如果3个奇数2个偶数的圈能变出5个奇数，由于这个操作的过程是可逆的，则5个奇数的圈通过有限次操作后能变成3个奇数2个偶数，但不管如何操作，5个奇数的圈变换后仍然是5个奇数，故要求的变换不能实现．