Question

（2007•安徽）探索n×n的正方形钉子板上（n是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：
当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；
当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，2五种，比n=2时增加了3种，即S=2+3=5．
（1）观察图形，填写下表：
（2）写出（n-1）×（n-1）和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）
（3）对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式．

钉子数（n）	S值
2×2	2
3×3	2+3
4×4	2+3+（ ）
5×5	（ ）

Answer

（1）钉子数为2×2时，共有不同的线段2条；
钉子数为3×3时，共有不同的线段2+3条；
钉子数为4×4时，共有不同的线段2+3+4条；
那么钉子数为5×5时，共有不同的线段2+3+4+5条．
（2）钉子数为（n-1）×（n-1）时，共有不同的线段2+3+4+5+…+（n-1）条；钉子数为n×n时，共有不同的线段2+3+4+5+…+（n-1）+n条相减后发现不同长度的线段种数增加了n种．
（3）钉子数为n×n时，共有不同的线段应从2开始加，加到n．
【解析】
（1）4，2+3+4+5（或14）；
（2）类似以下答案均给满分：
（i）n×n的钉子板比（n-1）×（n-1）的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种；
（ii）分别用a，b表示n×n与（n-1）×（n-1）的钉子板中不同长度的线段种数，则a=b+n；
（3）S=2+3+4+…+n=×（n-1）=．