Question

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=9，OC=15，将矩形纸片OABC绕O点顺时针旋转90°得到矩形OA₁B₁C₁．将矩形OA₁B₁C₁折叠，使得点B₁落在x轴上，并与x轴上的点B₂重合，折痕为A₁D．
（1）求点B₂的坐标；
（2）求折痕A₁D所在直线的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P，使得∠BPB₁为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据Rt△A1OB2中，，可得点B2坐标为（12，0）；
（2）B2C2=15-12=3，DC1=m，则B1D=9-m，因为B1D=B2D，所以，解得m=4，即D点的坐标为（15，4），设折痕A1D所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法可解得，折痕A1D所在直线的解析式为；
（3）假设存在P点，可证明△BAP∽△PC1B1，得，设PC1的长为m，所以，解得m1=15或m2=9，故当PC1=15时，P点坐标为（0，0）；当PC1=9时，P点坐标为（6，0）．
【解析】
（1）由条件知，B2A1=B1A1=BA=15，A1O=B1C1=BC=9，
∴在Rt△A1OB2中，
∴点B2坐标为（12，0）；

（2）B2C2=15-12=3，DC1=m，则B1D=9-m，
∵B1D=B2D，
∴，
解得m=4，
∴D点的坐标为（15，4），
又A1（0，9），
设折痕A1D所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
即折痕A1D所在直线的解析式为．

（3）假设存在P点，
∵∠BPA+∠BPB1+∠B1PC1=180°，∠BPB1=90°，
∴∠BPA+∠B1PC1=90°，
∵∠BAP=90°，∠ABP+∠BPA=90°，
∴∠ABP=∠B1PC1．
在△BAP和△PC1B1中，，
∴△BAP∽△PC1B1．
∴，
∵AB=15，C1B1=9，AC1=24，设PC1的长为m，
∴，
解得m1=15或m2=9．
经检验m1=15或m2=9是方程的两根，
当PC1=15时，P点坐标为（0，0）；
当PC1=9时，P点坐标为（6，0）．
综上所述，P点坐标为（0，0），（6，0）．