Question

（2007•广州）一次函数y=kx+k过点（1，4），且分别与x轴、y轴交于A、B点，点P（a，0）在x轴正半轴上运动，点Q（0，b）在y轴正半轴上运动，且PQ⊥AB．
（1）求k的值，并在直角坐标系中画出一次函数的图象；
（2）求a、b满足的等量关系式；
（3）若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面积．

Answer

（1）由已知可得到其一次函数的解析式，从而求得A、B的坐标，据此即可画出一次函数的图象；
（2）根据已知可证明Rt△ABO∽Rt△QPO，相似三角形的对应边成比例，从而可求得a、b满足的等量关系式；
（3）已知△APQ是等腰三角形而没有明确指出是哪两边相等，从而要分两种情况进行分析，分别是AQ=PQ或AP=PQ再根据面积公式即可求得△APQ的面积．
【解析】
（1）∵一次函数y=kx+k的图象经过点（1，4），
∴4=k×1+k，即k=2，∴y=2x+2，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=-1，
即A（-1，0），B（0，2），
如图，直线AB是一次函数y=2x+2的图象；

（2）∵PQ⊥AB
∴∠QPO=90°-∠BAO
又∵∠ABO=90°-∠BAO
∴∠ABO=∠QPO
∴Rt△ABO∽Rt△QPO
∴，即
∴a=2b；

（3）由（2）知a=2b，∴AP=AO+OP=1+a=1+2b，
AQ2=OA2+OQ2=1+b2，PQ2=OP2+OQ2=a2+b2=（2b）2+b2=5b2，
若AQ=PQ，即AQ2=PQ2，则1+b2=5b2，即b=或（舍去），
此时，AP=2，OQ=，S△APQ=×AP×OQ=×2×=（平方单位），
若AP=PQ，则1+2b=b，即b=2+，此时AP=1+2b=5+2，OQ=2+，
S△APQ=×AP×OQ=×（5+2）×（2+）=10+（平方单位），
若AQ=AP，则（a+1）2=1+b2，解得b=-，因为点Q在y轴正半轴上运动，故舍去；
∴△APQ的面积为平方单位或（10）平方单位．