Question

（2007•贵港）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx-7的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A，C两点的横坐标分别为1和4．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求二次函数的函数表达式；
（3）在（2）的抛物线上，是否存在点P，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P的坐标及此时△ABP的面积；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据图象，可得A的坐标，再根据二次函数的对称性，可得B点的坐标；
（2）根据（1）的三个点的坐标，将其代入方程，并求解可得解析式；
（3）假设存在并设出其坐标，分P在x轴的上方、下方两种情况讨论，可得答案．
【解析】
（1）因为A，C两点的横坐标分别为1，4，
所以点A（1，0）．（1分）
又点A，B关于对称轴x=4对称，点B（7，0）．（2分）

（2）因为二次函数y=ax2+bx-7的图象经过点A（1，0），B（7，0）．
所以（4分）
解得：（6分）．
所以二次函数的表达式为y=-x2+8x-7．（7分）

（3）假设抛物线上存在点P（x，y），使得∠BAP=45°（8分）
①当点P在x轴上方时有x-1=y，
∴x-1=-x2+8x-7，
即x2-7x+6=0．
解得：x=6或x=1（不合题意舍去）
∴y=-62+8×6-7=5．
∴点P为（6，5）．（9分）
此时，S△ABP=×（7-1）×5==15（10分）．
②当点P在x轴的下方时，有x-1=-y．
∴x-1=x2-8x+7，
解得：x=8或x=1（不合题意舍去）
∴y=-82+8×8-7=-7．
∴点P为（8，-7）．（11分）
此时，S△ABP=×（7-1）×7==21（12分）．