Question

（2007•河池）如图1，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为上的一动点．
（1）问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由；
（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；
（3）如图2，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．

Answer

（1）要使成立，则应有△BDE∽△BCD，因此必须满足∠BDE=∠DCB，则弧BD=弧AB，故需添加BD=AB；
（2）若AB∥OD，则应有∠ADO=∠BAD；由等边对等角知，∠ADO=∠OAD，则应有=；
（3）在（1）和（2）的条件下，点B、D是半圆的三等分点，可证得四边形AODB是平行四边形；由于OA=OD，因此平行四边形AODB是菱形．
【解析】
（1）添加AB=BD．
理由：∵AB=BD，∴=，
∴∠BDE=∠BCD，
又∵∠DBE=∠DBC，
∴△BDE∽△BCD，
∴．

（2）若AB∥DO，点D所在的位置是的中点．
理由：∵AB∥DO，
∴∠ADO=∠BAD，
∵∠ADO=∠OAD，
∴∠OAD=∠BAD，
∴=．

（3）在（1）和（2）的条件下，==，
∴∠BDA=∠DAC．
∴BD∥OA．
又∵AB∥DO，∴四边形AODB是平行四边形．
∵OA=OD，∴平行四边形AODB是菱形．