Question

（2007•开封）如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．
（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD；
（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．

Answer

（1）∵∠BAC=30°，BD平分∠ABC且交AC于D，∴∠BAC=∠ABD=30°，∴AD=BD；
（2）∵∠BAC与∠ABC互余，则这两角的一半的和为∠BAP+∠ABP=∠APD=45°，而∠APB与∠APD互补，∴∠APB=135°．
（1）证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=60°．
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=30°，
∴∠BAC=∠ABD，
∴BD=AD．

（2）解法一：∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴（∠BAC+∠ABC）=45°．
∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∠BAP=∠BAC，∠ABP=∠ABC，即∠BAP+∠ABP=45°
∴∠APB=180°-45°=135°．

解法二：∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴（∠BAC+∠ABC）=45°．
∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∠DBC=∠ABC，∠PAC=∠BAC，
∴∠DBC+∠PAD=45°．
∴∠BPA=∠PDA+∠PAD
=∠DBC+∠C+∠PAD
=∠DBC+∠PAD+∠C
=45°+90°
=135°．