Question

（2007•开封）已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）求证：△CPB≌△AEB；
（2）求证：PB⊥BE；
（3）若PA：PB=1：2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值．

Answer

（1），（2）根据条件∠ABE=∠CBP，BE=BP，BC=AB，可证△CBP≌△ABE，所以∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，即PB⊥BE．
（3）连接PE，则BE=BP，∠PBE=90°，∠BPE=45°，设AP为k，利用题中的比例式和勾股定理可求得PE=2k，AE=3k，所以cos∠PAE==．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，（1分）
∵∠CBP=∠ABE，BP=BE，
∴△CBP≌△ABE．

（2）证明：∵∠CBP=∠ABE，
∴∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，
∴PB⊥BE．
（1）、（2）两小题可以一起证明．
证明：∵∠CBP=∠ABE，
∴∠PBE=∠ABE+∠ABP（1分）
=∠CBP+∠ABP
=90°（2分）
∴PB⊥BE．（3分）
以B为旋转中心，把△CBP按顺时针方向旋转90°．（4分）
∵BC=AB，∠CBA=∠PBE=90°，BE=BP．（5分）
∴△CBP与△ABE重合，
∴△CBP≌△ABE．（6分）

（3）【解析】
连接PE，
∵BE=BP，∠PBE=90°，
∴∠BPE=45°，（7分）
设AP为k，则BP=BE=2k，
∴PE2=8k2，（8分）
∴PE=2k，
∵∠BPA=135°，∠BPE=45°，
∴∠APE=90°，（9分）
∴AE=3k，
在直角△APE中：cos∠PAE==．（10分）