Question

（2007•开封）已知：⊙O₁与⊙O₂相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O₁和⊙O₂于点C、D．
（1）如图，求证：AC是⊙O₁的直径；
（2）若AC=AD，
①如图，连接BO₂、O₁O₂，求证：四边形O₁C BO₂是平行四边形；
②若点O₁在⊙O₂外，延长O₂O₁交⊙O₁于点M，在劣弧上任取一点E（点E与点B不重合），EB的延长线交优弧于点F，如图所示，连接AE、AF，则AE______AB（请在横线上填上“≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个）并加以证明．（友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上）

Answer

（1）由CD⊥AB易得AC是⊙O1的直径（圆内直角所对的弦是直径）；
（2）根据中位线定理求得O1O2∥CD且O1O2=CD=CB，所以四边形O1CBO2是平行四边形；
（3）可分两种情况：当点E在劣弧上（不与点C重合）时，当点E在劣弧上（不与点B重合）时，证得AE＞AB．
（1）证明：∵CD⊥AB，（1分）
∴∠ABC=90°．（2分）
∴AC是⊙O1的直径．（3分）

（2）①证明：∵CD⊥AB，
∴∠ABD=90°．
∴AD是⊙O2的直径．（4分）
∵AC=AD，
∵CD⊥AB，
∴CB=BD．（5分）
∵O1、O2分别是AC、AD的中点，
∴O1O2∥CD且O1O2=CD=CB．（6分）
∴四边形O1CBO2是平行四边形．（7分）
②【解析】
AE＞AB，（8分）
当点E在劣弧上（不与点C重合）时，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
∴∠AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB．
∴AE=AF．（9分）
记AF交BD为G，
∵AB⊥CD，
∴AF＞AG＞AB．（10分）
当点E与点C重合时，AE=AC＞AB，
当点E在劣弧上（不与点B重合）时，设AE交CD与H，
AE＞AH＞AB．（11分）
综上，AE＞AB．（12分）