Question

（2007•河南）如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．
（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．
①将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形．
②如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为（3，-3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点．
【解析】
（1）因为抛物线的对称轴是x=，
设解析式为y=a（x-）2+k．
把A，B两点坐标代入上式，得，
解得a=，k=-．
故抛物线解析式为y=（x-）2-，顶点为（，-）．

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=（x-）2-，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．
∵OA是OEAF的对角线，
∴S=2S△OAE=2××OA•|y|=-6y=-4（x-）2+25．
因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），
所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．
①根据题意，当S=24时，即-4（x-）2+25=24．
化简，得（x-）2=．
解得x1=3，x2=4．
故所求的点E有两个，
分别为E1（3，-4），E2（4，-4），
点E1（3，-4）满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF是菱形；
点E2（4，-4）不满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF不是菱形；
②当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，
此时点E的坐标只能是（3，-3），
而坐标为（3，-3）的点不在抛物线上，
故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．