Question

（2007•牡丹江）如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC、DE把它分成的四部分的面积分别为S₁S₂S₃S₄，下面结论：
①只有一对相似三角形
②EF：ED=1：2
③S₁：S₂：S₃：S₄=1：2：4：5
其中正确的结论是（ ）

A．①③
B．③
C．①
D．①②

Answer

可知四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，得到△AEF∽△CDF，且三角形的相似比是1：2，因而EF：FD=1：2，则EF：ED=1：3；且△ABC∽△CDA，S1：S3=1：4，且△AEF与△AED同底，高的比是1：3，则S2=2S1，同理S4=5S1∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．
【解析】
①有两对相似三角形：
△AEF∽△CDF，△ABC∽△CDA，故该选项错误；
②∵AB∥CD，
∴AE：CD=EF：FD=1：2，故该选项错误；
③∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
S1：S3=1：4，
又∵△AEF与△AED同底，高的比是1：3，
∴S2=2S1
同理S4=5S1
∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，
故该选项正确．故选B．