Question

代数式的运算可以转化为五个多项式相乘，按多项式乘法法则，展开合并同类项后其乘积为：a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a，其中a₅、a₄、a₃、a₂、a₁、a为乘积展开式各项的系数，因此，=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a．
（1）求a与a₅的值；
（2）求（a+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²的值．

Answer

根据所给信息，和多项式乘以多项式的特点，
（1）令x=0可求出a的值．又因为a5是x5的系数，可求出a5的值．
（2）当x=1时，（+1）5=a5+a4+a3+a2+a1+a①
当x=-1时，（-+1）5=-a5+a4-a3+a2-a1+a②
再对所求式子变形，把①②代入化简即可．
【解析】
（1）∵（x+1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a，
令x=0，得到a=1．
∵a5是x5的系数，
∴a5=（）5=4．

（2）∵（x+1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a在上述等式中：
当x=1时，（+1）5=a5+a4+a3+a2+a1+a，
当x=-1时，（-+1）5=-a5+a4-a3+a2-a1+a，
又∵（a+a2+a4）2-（a1+a3+a5）2，
=（a+a1+a2+a3+a4+a5）•（a-a1+a2-a3+a4-a5），
=（+1）5（-+1）5，
=（1-2）5，
=-1．