Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），O为坐标原点．设P点在第一象限，以P为圆心，半径为1的⊙P与y轴及矩形OABC的边BC都相切．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过O、P、A三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积能被一条直线l平分，求这条直线l的解析式；
（3）若点N在抛物线上，问x轴上是否存在点M，使得以M为圆心的⊙M能与△PAN的三边PA、PN、AN所在直线都相切？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将三点坐标代入所设的解析式方程可得abc的值，进而可得解析式；
（2）连接AC、OB相交于Q，易得Q是矩形OABC的对称中心，进而设其方程为y=kx+b，代入PQ的坐标可得答案；
（3）假设存在并设出其坐标，①⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN相切，②⊙M与△PAN的边AP、AN的延长线相切，两种情况讨论，根据相切的性质，分析可得答案．
【解析】
（1）∵O（0，0），P（1，3），A（4，0），
在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，
∴，
即，
所以抛物线的解析式为：y=-x2+4x．（2分）

（2）连接AC、OB相交于Q，则Q是矩形OABC的对称中心，
∵P是⊙P的对称中心，
∴PQ平分⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积
设PQ的解析式为y=kx+b，∵P（1，3）、Q（2，1）（4分）
∴，
∴，
所以PQ解析式为y=-2x+5．（5分）

（3）假设x轴上存在点M，使得⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN所在的直线都相切，
则有如下两种情形：
①当⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN相切时，则M是△PAN的内心．
∵M在x轴上，
∴x轴为∠PAN的平分线，
∴P（1，3）关于x轴的对称点G（1，-3）在AN上，
所以AN的解析式为：y=x-4，
由得到N（-1，-5）（7分）
作PR⊥ox轴于R，∵PR=3=AR，
∴∠PAO=45°，
在等腰直角△ARP中，PR=3=AR，
∴
作NH⊥ox轴于H，因为AN的解析式为：y=x-4，
所以∠NAH=45°，
∵在等腰直角△AHN中，AH=5，NH=3，
∴，在Rt△NAP中，
∴Rt△NAP的内切圆⊙M的半径，
∴，
∴，0）．（9分）
②当⊙M与△PAN的边AP、AN的延长线相切于J、S，且与AN边相切于R时，则M是△PAN的旁心．
由①Rt△NAP的三边长度分别为：，，
∴NS=NR，PR=PJ，
∴旁切圆的半径，
∴，，0）．
综上所述：x轴上存在点M，
使得⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN所在的直线都相切，0）、，0）．（12分）