Question

（2007•咸宁）如图，O为正方形ABCD的重心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG、OC，OC交BG于点H．下面四个结论：①△BCE≌△DCF；②OG∥AD；③BH=GH；④以BG为直径的圆与DF相切于点G．其中正确的结论有    ．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer

根据SAS可知△BCE≌△DCF，①正确；则∠CDF=∠DBG，从而可得∠BGD=∠CDG+∠F=90°，则BG垂直平分DF，OG为△BDF的中位线，②正确；根据切线的判定可知④正确．
【解析】
①∵在△BCE与△DCF中，BC=DC，∠BCE=∠DCF，CE=CF，∴△BCE≌△DCF，正确；
②∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，
又∵∠BEC+∠CBE=90°，∴∠F+∠CBE=90°，∴BG⊥DF，
又∵BE平分∠DBC，∴BG垂直平分DF，∴所以G为中点．
∵O为正方形中心即为重心，∴OG为△BDF的中位线，∴OG∥BC∥AD，正确；
③∵C不是BF中点，∴OC与DF不平行，而O为BD中点，∴BH≠GH，错误；
④∵BG⊥DF，∴以BG为直径的圆与DF相切于点G，正确．
故正确的结论有①，②，④．