Question

（2007•孝感）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值．此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点），为什么？

Answer

（1）根据线段垂直平分线的性质和翻折的性质得到所求三角形的形状；
（2）由作图可得P在BC上，所以BC≥BP；
（3）根据所给的条件可得到M′的坐标，进而求得直线解析式，然后看点A到直线的距离是否等于假设的对应点到直线的距离．
【解析】
（1）△BMP是等边三角形．（1分）
证明：连接AN

∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN．
由折叠知AB=BN，
∴AN=AB=BN，∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°∴∠PBN=30°．（2分）
又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，
∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°．
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°．
∴△BMP为等边三角形．（4分）

（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP（6分）
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴BP=，∴b≥，∴a≤b．
∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP．（8分）

（3）∵∠M′BC=60°，
∴∠ABM′=90°-60°=30°．
在Rt△ABM′中，tan∠ABM′=，
∴tan30°=，
∴AM′=．
∴M′（，2）．代入y=kx中，得k==．（10分）
设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为A′，
过A′作A′H⊥BC交BC于H．
∵△A′BM′≌△ABM′，
∴∠A'BM'=∠ABM'=30°，A′B=AB=2．
∴∠A'BH=∠M'BH-∠A'BM'=30°．
在Rt△A′BH中，A′H=A′B=1，BH=，
∴，
∴A′落在EF上．（12分）