Question

（2007•长沙）如图，平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE=x，△DEF的面积为S．
（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；
（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？

Answer

（1）因为∠B=∠GCE，∠BEF=∠GEC，所以△BEF∽△CEG；
（2）在平行四边形ABCD中，因为∠BAD=120°所以∠B=60°=∠ECG，又BE=x，EC=3-x，所以EF、CG可利用三角函数求出，即在△EFG中，边和边上的高就为已知，从而求出解析式；
（3）在（2）的基础上，寻求函数的最大值．
（1）证明：∵AB∥GD，
∴∠B=∠GCE，
又∵∠BEF=∠GEC，
∴△BEF∽△CEG．

（2）【解析】
由（1）DG为△DEF中EF边上的高，
在Rt△BFE中，∠B=60°，EF=BEsinB=x，（4分）
在Rt△CEG中，CE=3-x，CG=（3-x）cos60°=，
∴DG=DC+CG=，（5分）
∴S=EF•DG=-x2+x，（6分）
其中0＜x≤3．（7分）

（3）【解析】
∵a=-，对称轴x=，
∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，
∴当x=3，即E与C重合时，S有最大值．（9分）
S最大=3．（10分）