Question

（2007•衡阳）如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接AP并延长交⊙P于C点，过点C的直线y=-2x+b交x轴于点D，交y轴于点E，且⊙P的半径为，AB=4．
（1）求点P，点C的坐标；
（2）求证：CD是⊙P的切线；
（3）若二次函数y=-x²+mx+n的图象经过A，C两点，求这个二次函数的解析式，并写出使函数值大于一次函数y=-2x+b值的x的取值范围．

Answer

（1）连接CB，根据已知及勾股定理等即可求解；
（2）只要证明∠ACD=90°即可得到DC是⊙P的切线．
（3）把A，C两点代入解析式求出未知数的值，进而求出其解析式；可求二次函数y=-x2+x+3与一次函数y=-2x+6的交点C和D，由此可知，满足条件的x的取值范围．
（1）【解析】
如图，连接CB，
∵OP⊥AB，
∴OB=OA=2．（1分）
∵OP2+AO2=AP2
∴OP2=5-4=1，OP=1，（2分）
∵AC是⊙P的直径，
∴∠ABC=90°．
∵CP=PA，BO=OA，
∴BC=2PO=2．
∴P（0，1），C（2，2）．（3分）

（2）证明：
方法一：∵y=-2x+b过C点，
∴b=6．
∴y=-2x+6．（4分）
∵当y=0时，x=3，
∴D（3，0）．
∴BD=1．
∵OA=BC=2PO=BD=1，∠AOP=∠CBD，
∴△AOP≌△CBD．
∴∠PAO=∠DCB．
∵∠PAO+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCB=90°．
∴∠ACD=90°．
∴DC是⊙P的切线．（6分）
方法二：∵直线y=-2x+b过C点（2，2），
∴y=-2x+6．（4分）
又∵直线y=-2x+6交x轴于点D，y轴于点E，
∴D（3，0），E（0，6）．
∴OD=3OE=6．
∴．
又∵∠AOP=∠EOD，
∴△AOP∽△EOD．
∴∠APO=∠EDO．
又∵∠APO+∠PAO=90°，
∴∠EDO+∠PAO=90°．
∴∠ACD=90°．
∴CD是⊙O的切线．（6分）

（3）【解析】
∵y=-x2+mx+n过A（-2，0）和C（2，2），
∴
解得，
∴这个二次函数的解析式为y=-x2+x+3．（8分）
可求二次函数y=-x2+x+3与一次函数y=-2x+6的交点C（2，2）和D（3，0），
由此可知，满足条件的x的取值范围为2＜x＜3．（10分）