Question

（2007•娄底）经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线y=ax²+bx+c交y轴于点C，设抛物线的顶点为D，若以DB为直径的⊙G经过点C，求解下列问题：
（1）用含a的代数式表示出C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如图，当a＜0时，能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？你能写出Q点的坐标吗？

Answer

（1）可根据A，B的坐标，用交点式二次函数通式来设出抛物线的解析式，进而可得出D，C的坐标．
（2）本题的关键是求出a的值．可通过相似三角形来求解，过D作DE⊥y轴于E，易知△DEC∽△COB，可通过得出的关于DE，CO，EC，OB的比例关系式，求出a的值．进而可求出抛物线的解析式．
（3）本题要分两种情况进行讨论．
①当∠BDQ=90°时，此时DQ是圆G的切线，设DQ交y轴于M，那么可通过求直线DM的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标．
②当∠DBQ=90°时，可过Q作x轴的垂线，设垂足为F，先设出Q点的坐标，然后根据相似三角形DHB和BFQ得出的关于DH，BF，BH，FQ的比例关系式，求出Q点的坐标．
③当∠BQD=90°时，显然此时Q，C重合，因此Q点的坐标即为C点的坐标．
综上所述可得出符合条件的Q点的坐标．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）
则y=a（x2-2x-3）=a（x-1）2-4a
则点D的坐标为D（1，-4a）
点C的坐标为C（0，-3a）

（2）如图①所示，过点D作DE⊥y轴于E，如图①所示：
则有△DEC∽△COB
∴
∴
∴a2=1a=±1
故抛物线的解析式为y=x2-2x-3或y=-x2+2x+3；

（3）a＜0时，a=-1，抛物线y=-x2+2x+3，
这时可以找到点Q，很明显，点C即在抛物线上，
又在⊙G上，∠BCD=90°，这时Q与C点重合，点Q坐标为Q（0，3）．
如图②，若∠DBQ为90°，作QF⊥y轴于F，DH⊥x轴于H
可证Rt△DHB∽Rt△BFQ
有
则点Q坐标（k，-k2+2k+3）
即
化简为2k2-3k-9=0
即（k-3）（2k+3）=0
解之为k=3或．
由得Q坐标：．
若∠BDQ为90°，
如图③，延长DQ交y轴于M，
作DE⊥y轴于E，DH⊥x轴于H
可证明△DEM∽△DHB
即，
则
得，点M的坐标为DM所在的直线方程为
则与y=-x2+2x+3的解为，
得交点坐标Q为
即满足题意的Q点有三个，（0，3），．