Question

（2007•邵阳）如图，直线y=-x+2与x轴，y轴分别相交于点A，B．将△AOB绕点O按顺时针方向旋转α角（0°＜α≤360°），可得△COD．

（1）求点A，B的坐标；
（2）当点D落在直线AB上时，直线CD与OA相交于点E，△COD和△AOB的重叠部分为△ODE（图①）．求证：△ODE∽△ABO；
（3）除了（2）中的情况外，是否还存在△COD和△AOB的重叠部分与△AOB相似，若存在，请指出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由；
（4）当α=30°时（图②），CD与OA，AB分别相交于点P，M，OD与AB相交于点N，试求△COD与△AOB的重叠部分（即四边形OPMN）的面积．

Answer

（1）因为直线y=-x+2与x轴，y轴分别相交于点A，B，所以分别令x=0，y=0，即可得A、B坐标．
并且可得OB=2，OA=2，AB=4，∠BAO=30°，∠B=60°．
（2）利用旋转可得OB=OD，∠ODE=∠B=60°，△OBD是等边三角形，所以可得∠DOE=90°-60°=30°=∠BAO，△ODE∽△AOB；
（3）利用直角三角形斜边上的高的性质可作OC⊥AB，设垂足为M，这时就有∠BOM=30°=∠BAO，∠B=∠B，△ODE∽△AOB，并且α=270°+30°=300°，即旋转300°．
（4）当α=30°时可知∠BNO=90°，∠D=60°，所以OD=2，ON=，DN=2-，MN=2-3，△ODP是等边三角形，OP=OD=2，S阴影=S△OPD-S△DMN，运用公式求面积．
【解析】
（1）令x=0，得y=2；令y=0，得x=2，
所以A（2，0），B（0，2）．
并且OB=2，OA=2，AB=4，∠BAO=30°，∠B=60°．

（2）由旋转可得OB=OD，∠ODE=∠B=60°，
∵∠B=60°，
∴△OBD是等边三角形，∠DOE=90°-60°=30°=∠BAO，
△ODE∽△AOB．

（3）有．
当OC⊥AB时，设垂足为M，这时有∠BOM=30°=∠BAO，∠B=∠B
∴△OMB∽△AOB．
∴α=270°+30°=300°，
即旋转300°．

（4）∵当α=30°时∠BNO=90°，∠D=60°，
∴OD=2，ON=，DN=2-，MN=2-3，△ODP是等边三角形，OP=OD=2．
S阴影=S△OPD-S△DMN
=×2×-（2-）（2-3）
=6-．