Question

（2007•益阳）已知平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（0，2）、（0，-2），（4，-2）．
（1）请在给出的直角坐标系xOy中画出△ABC，设AC交X轴于点D，连接BD，证明：OD平分∠ADB；
（2）请在X轴上找出点E，使四边形AOCE为平行四边形，写出E点坐标，并证明四边形AOCE是平行四边形；
（3）设经过点B，且以CE所在直线为对称轴的抛物线的顶点为F，求直线FA的解析式．

Answer

（1）根据图示可知OA=2=OB，OD⊥AB，即OD垂直平分AB，可得DA=DB，从而OD平分∠ADB．
（2）过点C作CE⊥x轴，E为垂足，根据AO=2=CE，AO⊥x轴，CE⊥x轴可知AO∥CE，所以四边形AOCE是平行四边形．
（3）设过A（0，2），C（4，-2）的解析式为y=k1x+b1，则利用待定系数法可解得直线AC的解析式为y=-x+2．所以抛物线过B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，利用待定系数法可解抛物线解析式为，所以其顶点为．设经过，A（0，2）的解析式为y=k2x+b2，利用待定系数法可解得直线FA的解析式为．
【解析】
（1）画图如右∵OA=2=OB，OD⊥AB，
即OD垂直平分AB，
∴DA=DB．
从而OD平分∠ADB．（3分）

（2）过点C作CE⊥x轴，E为垂足，则E（4，0），
使四边形AOCE为平行四边形．
理由如下：∵AO=2=CE，
又AO⊥x轴，CE⊥x轴⇒AO∥CE，
∴四边形AOCE是平行四边形．（7分）

（3）设过A（0，2），C（4，-2）的解析式为y=k1x+b1，
则，
∴直线AC的解析式为y=-x+2．
令y=0，得x=2．
故D的坐标为（2，0）．（9分）
由于抛物线关于CE对称，
故D关于CE的对称点D′（6，0）也在抛物线上，
所以抛物线过B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则有，
∴抛物线解析式为．
其顶点为．（12分）
设经过，A（0，2）的解析式为y=k2x+b2，
则，
∴直线FA的解析式为．（14分）