Question

（2007•株洲）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．
求证：MN与PQ互相垂直平分．

Answer

先利用平行四边形的判定得出PM=AB；NQ=AB，证明四边形MPNQ是平行四边形后再证得四边形MPNQ为菱形，然后可证得MN与PQ互相垂直平分．
证明：连接MP，PN，NQ，QM，
∵AM=MD，BP=PD，
∴PM=AB，
∴PM是△ABD的中位线，
∴PM∥AB；
同理NQ=AB，NQ∥AB，MQ=DC，
∴PM=NQ，且PM∥NQ．
∴四边形MPNQ是平行四边形．（3分）
又∵AB=DC，∴PM=MQ，
∴平行四边形MPNQ是菱形．（5分）
∴MN与PQ互相垂直平分．（6分）