Question

（2007•株洲）已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于点D，以D为坐标原点，CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若⊙O₁，⊙O₂分别为△ACD，△BCD的内切圆，求直线O₁O₂的解析式；
（3）若直线O₁O₂分别交AC，BC于点M，N，判断CM与CN的大小关系，并证明你的结论．

Answer

（1）根据题意先证明△ADC∽△ACB，所以AC2=AD•AB，求得AD的长，同理DB，CD，从而求出A，B，C三点坐标；
（2）设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，根据面积公式可知S△ADC，从而得到r1，r2，由此可求得直线O1O2的解析式；
（3）由（1）易得直线AC的解析式，联立直线O1O2的解析式，求得点M的纵坐标为，过点M作ME⊥y轴于点E，由Rt△CME∽Rt△CAD得出比例关系，解得CM的长，同理得CN的长，再判断CM与CN的大小关系．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，CD⊥AB
∴△ADC∽△ACB，∴AC2=AD•AB，
∴AD=；
同理DB=，CD=，
∴A（-，0），B（，0），C（0，）

（2）设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，
则有S△ADC=AD•CD=（AD+CD+AC）r1
∴，同理；
∴；
由此可求得直线O1O2的解析式为：；

（3）CM与CN的大小关系是相等．
证明如下：法一：由（1）易得直线AC的解析式为：，
联立直线O1O2的解析式，求得点M的纵坐标为，
过点M作ME⊥y轴于点E，
∴CE=CD-DE=；由Rt△CME∽Rt△CAD，得，
解得：，同理，∴CM=CN；
法二：∵⊙O1，⊙O2分别为△ACD，△BCD的内切圆，
∴∠O1DE=∠O2DE=×90°=45°，
∴∠O1DO2=90°，
∴∠O1DO2=∠ACB
∵△ACD∽△CBD，⊙O1，⊙O2分别为△ACD，△BCD的内切圆，
∴=
∴Rt△O1O2D∽Rt△ABC，
∴∠O2O1D=∠BAC，
由此可推理：∠CMN=∠O1DA=45°，
∴∠CNM=45°，∴CM=CN．