Question

（2007•吉林）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．

Answer

（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG即可；
（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；
解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．
（1）证明：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．
∴∠GAH=∠ECF，
∴AG∥CE．
又∵AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形．

（2）解法1：在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5．
∵CF=CB=3，
∴AF=2．
在Rt△AEF中，
设EF=x，则AE=4-x．
根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，
即（4-x）2=22+x2．
解得x=，即线段EF长为cm．
解法2：
∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，
∴△AEF∽△ACB，
∴．
∴，
解得，即线段EF长为cm．