Question

（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题：
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；
16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□²-∅²”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）若用a₁b₁，a₂b₂，…，a_nb_n表示n个乘积，其中a₁，a₂，a₃，…，a_n，b₁，b₂，b₃，…，b_n为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）

Answer

利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如11×29；可想几加几等于29，几减几等于11，可得20+9和20-9，可得11×29=202-92，同理思考其它的．
【解析】
（1）11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；
14×26=202-62；15×25=202-52；16×24=202-42；
17×23=202-32；18×22=202-22；19×21=202-12；
20×20=202-02．（4分）
例如，11×29；假设11×29=□2-○2，
因为□2-○2=（□+○）（□-○）；
所以，可以令□-○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=202-92．（5分）
（或11×29=（20-9）（20+9）=202-92．5分）

（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（7分）

（3）①若a+b=40，a、b是自然数，则ab≤202=400．（8分）
②若a+b=40，则ab≤202=400．（8分）
③若a+b=m，a、b是自然数，则ab≤．（9分）
④若a+b=m，则ab≤．（9分）
⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40．且
|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥≥|an-bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤anbn．（10分）
⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m．且
|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．（10分）
说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③或④之一的得（2分）；
给出结论⑤或⑥之一的得（3分）．