Question

（2007•青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP=AD时（如图②）：

∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=S_△ABD．
∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=S_△CDA．
∴S_△PBC=S_{四边形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四边形ABCD}-S_△ABD-S_△CDA
=S_{四边形ABCD}-（S_{四边形ABCD}-S_△DBC）-（S_{四边形ABCD}-S_△ABC）
=S_△DBC+S_△ABC．
（2）当AP=AD时，探求S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP=AD时，S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系式为：______；
（4）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探求S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP=AD（0≤≤1）时，S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系式为：______．

Answer

（2）仿照（1）的方法，只需把换为；
（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；
（4）综合（1）（2）（3）得到面积和线段比值之间的一般关系；
（5）利用（4），得到更普遍的规律．
【解析】
（2）∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=S△ABD．
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA．
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-S△ABD-S△CDA
=S四边形ABCD-（S四边形ABCD-S△DBC）-（S四边形ABCD-S△ABC）
=S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC=S△DBC+S△ABC

（3）S△PBC=S△DBC+S△ABC；

（4）S△PBC=S△DBC+S△ABC；
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=S△ABD．
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-S△ABD-S△CDA
=S四边形ABCD-（S四边形ABCD-S△DBC）-（S四边形ABCD-S△ABC）
=S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC=S△DBC+S△ABC
问题解决：S△PBC=S△DBC+S△ABC．