Question

（2007•威海）如图，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求∠A₁E₂A₂+∠A₄E₂C₄+∠A₄E₅C₄的度数．

Answer

要求∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4的度数，不能把其中每个角度数求出，只能把这几个角的和转换成等于一个已知角．所以连接A3E2，容易证明Rt△A3A2E2≌Rt△A1A2E2，得到∠A3E2A2=∠A1E2A2．再通过利用勾股定理计算证明可以得到△A4C4E5≌△A3C3E2，这样∠A3E2C3=∠A4E5C4，再利用图形的已知条件进行转换可以得到：∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4=∠A2E2C4=45°．
【解析】
连接A3E2．
∵A3A2=A1A2，A2E2=A2E2，∠A3A2E2=∠A1A2E2=90°，
∴Rt△A3A2E2≌Rt△A1A2E2（SAS）．
∴∠A3E2A2=∠A1E2A2．（3分）
由勾股定理，得，，
∵A4C4=A3C3=2，
∴△A4C4E5≌△A3C3E2（SSS）．
∴∠A3E2C3=∠A4E5C4．（6分）
∴∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4=∠A3E2C4+∠A4E2C4+∠A3E2C3=∠A2E2C4．
由图可知△E2C2C4为等腰直角三角形．
∴∠A2E2C4=45度．
即∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4=45°（9分）．