Question

（2007•潍坊）如图1，线段PB过圆心O，交圆O于A，B两点，PC切圆O于点C，作AD⊥PC，垂足为D，连接AC，BC．
（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；
（2）若图1中的切线PC变为图2中割线PCE的情形，PCE与圆O交于C，E两点，AE与BC交于点M，AD⊥PE，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；
（3）在图2中，证明：AD•AB=AC•AE．

Answer

（1）根据弦切角定理得到∠ACD=∠ABC；根据等角的余角相等得到∠BAC=∠CAD；
（2）根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形的性质得到相关的角相等；
（3）证△ADC∽△AEB，从而得出所求的结论．
证明：（1）图1中相等的角有：∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠CAD，
连接OC，则OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴AD∥OC．
∴∠CAD=∠OCA．
又OA=OC，∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠CAD．
又AB为直径，∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠ABC．

（2）∠ACD=∠ABE，∠ABC=∠AEC，∠BAE=∠BCE，∠CBE=∠CAE（三组即可）；

（3）由（2）知：∠ACD=∠ABE，
又∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴△ADC∽△AEB．
∴，即AD•AB=AC•AE．