Question

（2007•临汾）如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接OB，OC，在⊙O外作∠BAD=∠BAO，AD交OB的延长线于点D．
（1）在图中找出一对全等三角形，并进行证明；
（2）如果⊙O的半径为3，sin∠OAC=，试求切线AC的长；
（3）试说明：△ABD分别是由△ABO，△ACO经过哪种变换得到的．（直接写出结果）

Answer

本题可根据三角形全等，切线的性质，图形的旋转解答．
（1）直接利用全等的条件易证△ACO≌△ABO；
（2）利用切线的性质可得到直角三角形，利用三角函数值可分别求得所需线段的长度，再利用勾股定理求得AC的长；
（3）利用旋转的性质和轴对称的性质可直接得到．
【解析】
（1）在△ACO与△ABO中，
∵OC=OB，∠ABO=∠ACO=90°，
∴∠BAO=∠CAO，OC为公共边．
∴△ACO≌△ABO．

（2）∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC；
在Rt△ACO中，
∵sin∠OAC=，
∴=．
∵OC=3，
∴AO=6．
∴AC===3．

（3）△ABD是由△ABO沿直线AB折叠得到（或△ABD与△ABO关于直线AB对称），
△ABD是由△ACO绕A点顺时针方向旋转∠CAB（或∠OAD）而得到．