Question

（2007•山西）如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；
（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）

Answer

根据正方形的性质得到相关的条件找出全等的三角形：△ADE≌△ABC，△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，
△CDF≌△CBF；利用全等的关系求出∠AHD=90°，得到AE⊥DF；同时可判定BM=MC．
【解析】
（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF．

（2）AE⊥DF．
证明：设AE与DF相交于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠BAF．
又∵AF=AF，
∴△ADF≌△ABF．
∴∠1=∠2．
又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，
∴△ADE≌△BCE．
∴∠3=∠4．
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHD=90°．
∴AE⊥DF．

（3）∵∠ADE=90°，AE⊥DF．
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°．
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5．
∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，
∴△DCM≌△BCE．
∴CE=CM，
又∵E为CD中点，且CD=CB，
∴CE=CD=BC，
∴CM=CB，即M为BC中点，
∴BM=MC．